MAT01074 – Educação Matemática e Tecnologia

Trabalho 1 : Gráficos - Trabalhando com o Graphmática

Grupo: Igor e Priscila

Analisando as funções de 2° grau:

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a≠0.
O gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola.

 

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Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

*         Se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima, ou seja, tem um ponto de mínimo.

*         Se a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo, ou sejam tem um ponto de máximo.

*         O vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = - Δ /4a , onde Δ = b2 - 4ac

*         A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 .

*         A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .

*         O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.

Algumas observações: y= ax² + bx + c.

     

*         A curva será simétrica em relação  ao eixo das ordenadas.     

*         A função é crescente para x > xv e decrescente para x < xv. Trata-se de uma função contínua, pois para pequenas variações de x correspondem pequenas variações de y.

*         Todas as curvas, com do tipo y=ax², com b e c nulos, têm o vértice no ponto (0,0).

 

 

Agora, com o Graphmática, faça o gráfico da função y=x².

Para isso digite a função no campo indicado pela seta vermelha, lembrando que representamos a potência por (^).

 

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Observe que ao designarmos diferentes valores para a, na função y=ax², teremos os gráficos abaixo:

 

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y=1/2x²; y=x²; y=2x²; y=-1/2x²; y=-x²; y=-2x²;

 

parab68.gif

 

Os gráficos de y = ax2 e y = –ax2 são simétricos entre si com relação ao eixo X, das abscissas.

 

No caso geral, à medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, ou seja, quanto maior |a|, mais a parábola se aproxima do eixo de simetria. O contrário também vale, à medida que diminui o valor absoluto de a, a parábola é mais aberta, ou seja, quanto menor |a|, mais a parábola se afasta do eixo de simetria.

 

Ampliação/Redução Vertical

 

Analisando a função f(x) = ax² + bx + c no seguinte exemplo:

 

Ex.: f(x) = x² + x – 1;

 

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Faremos agora, g(x) = 2 f(x), ou seja, g(x) = 2x² + 2x – 2. Observe o gráfico.

 

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Note que, com a multiplicação da f(x) por 2, as raízes se mantiveram; porém, a parábola sofreu uma compressão (redução vertical).

No caso geral, dada uma constante k, tal que g(x) = f(x) + k, teremos uma redução vertical de k unidades se k<1 e uma ampliação se k>1.

 

 

 

 

 

 

Deslocamento Vertical

 

Analisando a função f(x) = x² + x - 1, citada acima, no seguinte exemplo:

 

 

Ex.: f(x) = x² + x - 1;

 

 

 

Faremos agora um deslocamento de 2 unidades, ou seja, g(x) = f(x) + 2.

Então, g(x) = (x² + x - 1) + 2.

 

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 Note que a parábola se deslocou 2 unidades para cima.

Em geral, dado uma constante k na função g(x) = f(x) + k, teríamos um deslocamento de k unidades para cima, se k>0 ou k unidades para baixo se k<0.

 

Outro exemplo: construa os gráficos sugeridos:

 

y = x²

y = x² - 1

 

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A função y= x² - 1 foi obtida a partir de um deslocamento vertical da função y= x² em uma unidade para baixo.

 

 

Observe os gráficos abaixo, para a < 0:

y= - x²

y= - x²+3

 

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parab74.gif

Deslocamento Horizontal

Analisando as funções abaixo:

 

y=x²

y=x² - 4x + 4; y= (x-2)²

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Note que a parábola se deslocou 2 unidades para a direita.

Em geral, dado uma constante k na função g(x) = f(x+k), teríamos um deslocamento de k unidades para a direita, se k<0 ou k unidades para a esquerda se k>0.

 

 

 

parab83.gif

 

 

 

 

Ampliação/Redução Horizontal

 

Analisando a função f(x) = ax² + bx + c no seguinte exemplo:

 

Ex.: f(x) = x² – 1;

 

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Faremos agora, g(x) = f(2x), ou seja, g(x) = (2x)² – 1. Observe o gráfico.

 

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Note que a função g(x) sofreu uma compressão (redução horizontal).

No caso geral, dada uma constante k, tal que g(x) = f(kx), teremos uma ampliação se k<1 e uma redução se k>1.

 

 

Analisando as coordenadas do vértice:

 

Vamos analisar partindo da função y = ax² + bx. Verifique que podemos reescrever a função dada: y=x (ax +b).

Sabemos que nos pontos em que os ramos da parábola cortam o eixo X, das abscissas, o valor de y será 0. Por isso podemos dizer que x(ax + b) = 0.

Resolvendo esta expressão, saberemos os pontos em que a parábola corta o eixo X.

 

Podemos facilmente notar que uma solução é x = 0, e se isolarmos o x em (ax + b) = 0, obteremos x = – (b/a).

 

Se a parábola corta o eixo X nos pontos 0 e – (b/a), a abscissa do vértice (Xv) será necessariamente o ponto médio do segmento que tem por extremos 0 e – (b/a).

http://members.fortunecity.com/marcelorenato/funcaosegundograu/Fmt1301.gif

 

No caso geral, para obter o valor da ordenada do vértice, basta substituir o valor de x por – (b/2a) na função.

Ou seja:

 

Yv = a. Xv² + b. Xv + c

 

= a ()² + b ( + c )

 

= a .  -  + c

 

=  -  + c

 

=

 

=

 

=

 

Exemplo: Vamos fazer o gráfico da função y= x² + 6x + 12.

Note que podemos reescrever a função desta forma: y=(x+3)² + 3 e assim identificar o que acontecerá com o gráfico.

Agora, observe passo a passo:

Obs.: quando quiser que mais de um fator sofra a ação de uma operação, por exemplo, a exponencial, não se esqueça de colocar parênteses.

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Vamos analisar a função modular:

Para utilizarmos a função modular, ou valor absoluto, precisamos digitar, no campo em branco, as letras: “abs” antes de indicar a função desejada, não esqueça de colocar a função entre parênteses. Observe o exemplo:

Primeiramente vamos indicar a função desejada:

fig14.bmp

Agora para calcular o módulo desta função:

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Interseções

Observe o gráfico abaixo:

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Você acha que elas vão se intersectar em algum ponto?

Podemos calcular as interseções de gráficos usando o Graphmática. Basta clicar em “ferramentas” e a seguir em “intersecção”.

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Irá aparecer a janela abaixo, com as funções que você pretende calcular nos campos “equação 1” e “equação 2”, agora é só clicar no botão indicado e ver o resultado. Neste caso, como esperado, não existe interseção entre as funções.

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Vamos verificar outro caso:

 

Digitando nos campos:

 

“Equação 1: y=3x^2 – 1

“Equação 2: y=x^2” e a seguir clicarmos no botão “calcular” teremos o seguinte resultado:

fig21.bmp

Os pontos que aparecem no campo resultados são os pares ordenados nos quais as curvas se intersectam.

Ainda temos outro recurso interessante para ser usado, podemos determinar um ponto no eixo x  ou no eixo y para que o Graphmática calcule o valor da função naquele ponto.

Para acessar esta opção, vá em “ferramentas” e a seguir em “calcular...”, feito isso, aparecerá a janela a seguir, onde introduzimos a função y= x² e determinamos o ponto x=4 para que fosse calculado:

fig23.bmp

fig22.bmp

Existe outra maneira de achar o par ordenado procurado, podemos apenas clicar no botão indicado abaixo:

fig25.bmp

E colocar o cursor no local em que temos interesse nas coordenadas. O resultado aparece circulado em azul no exemplo abaixo:

fig23.bmp

 

 

 

 


Agora, vamos analisar as funções do tipo linear e linear afim:

Sabemos que estas funções são definidas por y = ax e y = ax +b, respectivamente. Além disso, o gráfico destas funções será sempre uma reta.

Vamos observar o movimento dessas retas:

Faça você, no Graphmática, diversos gráficos para retas do tipo y= ax (linear), com diferentes valores de a (coeficiente angular). Escolha valores aleatórios para a, verifique os gráficos e veja o que está acontecendo com estes gráficos à medida que o valor de a varia.

Veja, por exemplo:

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A animação a seguir corresponde a diversos valores dados par a:

rectas9.gif

Agora, faça o mesmo para as funções do tipo y= ax + b (linear afim), dê diferentes valores para a, observe os gráficos correspondentes.

Perceba o que significa o termo b (parâmetro linear) nos gráficos gerados;

Verifique o caso quando b=0.

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Note que no caso b=0, a reta passa pela origem, caracterizando a função y=ax, já nos demais casos, a reta não passa pela origem, estando deslocada, justamente, b unidades para cima ou para baixo no eixo y. Observe as mesmas funções; porém, com intervalo especificado:

16.bmp                                          rectas12.gif

 

Desta forma, se verifica, claramente, que o deslocamento é horizontal, uma vez que o parâmetro linear b representa, justamente, a interseção da reta com o eixo Y.

 

 

Observe o que acontece quando aplicamos o valor absoluto na função y=x:

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Aplicando no Graphmática a função y= abs x, temos:

14.bmp

 

Vamos tentar um exercício interessante:

Usando y=ax e y=ax+b, construa as figuras abaixo, para tanto, você deve especificar o domínio da função, veja o exemplo:

 

 

 

 

fig12.bmp

O domínio deverá ser especificado entre chaves, ele corresponde ao comprimento da figura que se pretende formar. Agora, outro exemplo:

 

 

 

fig13.bmp

Agora, tente você, descubra como foi feita a figura abaixo:

fig16.bmp

 

Alguns sites pesquisados:

(acesso online em 10/09/2007)

http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/ativ7/ativ7.htm

http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap2.pdf

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/hpteia/ef/ef.htm

http://www.inf.pucrs.br/~giraffa/jo/jo/RTI_Joelene.pdf

Referências:

Apostila de Fundamentos de Matemática II